Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

811.62 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

8. Переход в линейном пространстве от базиса к базису

Матрица перехода от базиса B e1,e2,...,en к базису B' e'1,e'2 ,...,en' –

это матрица TB B' , при умножении на которую слева столбца координат любого вектора в базисе B получаем столбец координат этого вектора в базисе

B' .

Имеют место следующие равенства:

1) TB B' e1 B' e2 B' en B' (столбцы матрицы перехода к базису B'

равны столбцам координат векторов базиса B в базисе B' );

2)TB B' x B x B' ;

3)x B TB B' T x B';

4)TB' B e'1 B e'n B ;

5)TB B' TB' B 1.

1 0 0

Пример 1. Найти матрицу перехода от базиса B 0 , 1 , 00 0 1

0 1 1

	1		0		1
к базису B'		,		,		.
	1		1		0

Решение. В условии задачи координаты векторов базиса В' даны в базисе В, поэтому можно сразу записать матрицу перехода к В' от В, столбцы которой равны векторам В':

	0		1	1
T		1	0	1
B' B					.
		1	1	0
		1	1	0

Матрицу перехода к В от В' найдем как обратную к TB' B. Используем метод элементарных преобразований строк матрицы (ai – i-я строка матрицы):

0		1
	1	0

	1	1

1	1 0 0								1 0			1	0 1 0
1	0 1 0				a a					0 1		1	1 0 0		a a
1	0 1 0									0 1		1	1 0 0
					1		2								3	1
0	0 0 1									1 1		0	0 0 1
0	0 0 1									1 1		0	0 0 1
	1			0	1			0		1	0


		0		1 1				1 0 0				a a
		0		1 1				1 0 0
												3		2
		0		1	1			0	1		1
		0		1	1			0	1		1
	1			0	1		0			1	0
	1			0	1		0			1	0
			0	1 1		1 0 0						a3:( 2)
			0	1 1		1 0 0
			0	0 2		1			1 1
			0	0 2		1			1 1

1 0 1					0		1		0		a a
											1	3
	0 1 1				1		0		0		a a
	0 1 1				1		0		0
											2	3
	0	0		1	1/2		1/2
	0	0		1	1/2		1/2		1/2
		1		0		0	1/2		1/2	1/2
		1		0		0	1/2		1/2	1/2
			0	1		0	1/2		1/2	1/2
			0	1		0	1/2		1/2	1/2	,
			0	0		1	1/2		1/2
			0	0		1	1/2		1/2	1/2
										1/2
						1/2		1/2		1/2
	T					1/2		1/2		1/2		█
	B B'										.	█
						1/2		1/2
						1/2		1/2		1/2

1 1 0

Пример 2. Найти матрицу перехода от базиса B 1 , 2 , 11 3 2

0 1 1

	1		0		1
к базису B'		,		,		.
	1		1		0

Решение. В условии задачи координаты векторов обоих базисов В и В'

1 0 0

даны в базисе Bo 0 , 1 , 0 , поэтому можно сразу записать матрицы

0 0 1

перехода от В и В' к Bo.

			1		1	0
T	o		1		2	1	,
B B
					3	2
			1		3	2
			0		1	1
T		o		1	0	1		.
B' B
				1	1	0
				1	1	0

Имеет место равенство TB B'

. Следовательно,

TB B' TBo B

TBo B'

Bo .

Сокращая

последний сомножитель и

умножая обе части равенства на

TBo B 1

TB Bo , получим:

TB B'TBo B x Bo TBo B' x Bo ,

TB B' TBo B'TB Bo .

Матрица перехода TBo B' найдена в примере 1:

1/2

TBo B'

1/2

Значит,

1/2

1/2 1

1/2

3/2

T o

1/2

. █

B B'

B' B B

1/2

Упражнения и задачи

8.1.Доказать формулы 1)-5).

1 0 0

8.2. Найти матрицу перехода от базиса B 0 , 1 , 00 0 1

1 2 0

	2		0		0
к базису B'		,		,		.
	0
			1		1

1 0 0

8.3. Найти матрицу перехода от базиса B 0 , 1 , 00 0 1

0 3 1

	0		2		0
к базису B'		,		,		.
	2		6		0

1 0 0 0

8.4.Найти матрицу перехода от базиса B 0 , 1 , 0 , 0

0 0 1 0

0 0 0 1

			0 1 0 0
					1			1			1				0
к базису B'					1	,		1	,		1		,		0
к базису B'						,			,				,			.
			1 1 1 1

					1			0 0 0
					1			0 0 0
																			1				2				3
8.5. Найти матрицу перехода от базиса																		e		2	,	e		3	,	e		7
																		1			2				3
																				1				3				1
																				1				3				1
			3						5							1
к базису	e	'		1		,	e	'		2		,		e	'		1	.
1						2							3
				4						1							6
				4						1							6

8.6.Найти матрицу перехода от базиса


		1		1				1				1

e	1 ,		e		2	,	e		1	,	e		3
1		1 2		1 3				2 4				2
					1				1				3
		1

			1				2				2				2
				0				3				2				3
к базису	e	'			,	e	'		,	e	'		,	e	'		.
1			3 2				5 3				5 4				4
				3				4				4				4

8.7.Найти матрицу перехода от базиса {1,x,x2,...,xn } к базису

1, x a , x a 2 ,..., x a n .

8.8.Выяснить, как изменится матрица перехода от базиса B к B' , если а) в базисе B поменять местами два вектора?

б) в базисе B' поменять местами два вектора?

в) записать векторы B и B' в обратном порядке?

9. Евклидовы пространства. Ортонормированный базис

Евклидово пространство – это линейное пространство U над полем

M, , , в

котором

определена функция скалярного произведения

():U2 U , такая, что

U ;

(

) (

, F ;

причем

Два вектора x,y U называются ортогональными, если x y 0.

Длина вектора определяется как действительное число, равное квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя:

x x x .

Косинус угла между векторами определяется как отношение скалярного произведения к произведению длин векторов:

cos

x y

Каждому базису B

e1,

e2,...,

в евклидовом пространстве

соответствует матрица Грама – матрица, элементы которой равны скалярному произведению соответствующих базисных векторов:

B ei ej i 1,n . j 1,n

Если матрица Грама для базиса диагональная, то соответствующий базис называется ортогональным.

Если матрица Грама для базиса единичная, то соответствующий базис называется ортонормированным.

Замечание. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису обладает замечательным свойством:

TB' B TB 1`B' TBT B'.

Для вычисления скалярного произведения элементов евклидова пространства в произвольном базисе имеет место формула (упр. 9.3)

x y x B B y B .

При переходе от базиса B к базису B' с матрицей перехода TB B' матрица Грама нового базиса вычисляется по формуле (упр. 9.4)


		B'		TT		T	.
		B'			B B' B B B'
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта позволяет ортонормировать
произвольный базис B	e1,		e2,...,		en	евклидова пространства (т.е. найти

эквивалентный базису B ортогональный базис) и заключается в следующей последовательности действий.

1) В качестве первого вектора ортогонального базиса B e1',e2 ',...,en '

возьмем первый вектор базиса B e1,e2,...,en : e1': e1.

2)Второй вектор подбираем таким образом, чтобы он был ортогонален уже имеющемуся в базисе B вектору e1' и принадлежал линейной оболочке

векторов

e1,

e2 :

e2 ':

e2 21

e1',

где

e1'

e2 ' 0.

Умножая обе части

равенства

e2 ':

e1'скалярно на вектор

e1',

получим

e1'

e2 '

e1'

e2 21

e1'

e1' 0,

e1'

откуда следует, что

3)Действуя аналогично, «поворачиваем» следующий вектор базиса B так, чтобы он был ортогонален уже имеющимся в новом базисе векторам и лежал в линейной оболочке e1,e2,e3 (которая по построению совпадает с линейной оболочкой e1',e2 ',e3 ):

e3 ':

e3 32

e2 ' 31

e1',

где

e1'

e3 ' 0,

e2 '

e3 ' 0,

31 e1' e3 ,

e1' e1'

32 e2 ' e3 .

e2 ' e2 '

…
n) e'n : en nne'n n1e'1, где	e 'n e 'i	0,	i 1,n.

ni ei ' en .

ei ' ei '

…

Полученный базис B

e1',

e2 ',...,

en '

будет ортогональным. Для того

чтобы получить ортонормированный базис

{

...

o}, нормируем

1 2

векторы, т.е. разделим координаты каждого вектора ei ',i 1,n, базиса B на его длину:

	e	o :	ei	'
	e	o :
	i					.
			e ' e			'
			i		i
							1			2
Пример 1. Проверить ортогональность векторов								0			в
Пример 1. Проверить ортогональность векторов								0	,	0	в
								2
								2		1

пространстве 3, дополнить до ортогонального базиса, нормировать полученный базис.

Решение. Вычислим скалярное произведение векторов:

1		2
	0	0	1 2 2 ( 1) 0,
	0	0	1 2 2 ( 1) 0,
	2
	2	1

следовательно, векторы ортогональны. Вектор, ортогональный данным, удовлетворяет системе условий:

2 z

x 2z 0,

3x 0,

y C,

2 x

C const.

2x z 0;

z 0,

0 y 0;

Таким образом,

дополнить до ортогонального

базиса можно

следующим

1 2 0

образом:

. ¶

Замечание. В качестве третьего ортогонального вектора всегда можно взять векторное произведение первых двух. █

Пример 2. Найти ортонормированный базис в пространстве многочленов степени не выше 2 над полем , где скалярное произведение определяется формулой

P(x) Q(x) P(x)Q(x)dx.

Решение. В качестве базиса рассмотрим, например, систему многочленов B {1,2x,3x2}. Найдем матрицу Грама для этого базиса:

			1	1				1
			1dx	2xdx				3x2dx				x		1			x			2		1			3				1


			0	0				0						0								0				x			0			1 1		1
			0	0				0						0
	1			1				1									4								6
						2			3				2			1					3		1					4			1
						2			3				2			1					3		1					4			1
B		2xdx		4x			dx	6x		dx	x					0	3		x				0		4		x				0	1	4/3	3/2	.
		2xdx		4x				6x			x					0	3		x				0		4		x				0	1	3/2	9/5	.
	0			0				0																								1	3/2	9/5
	1			1				1			x3				1		6	x4						1		9	x5			1
															1		6									9

			3x2 dx		6x3dx				9x4dx						0		4							0 5						0
			3x2 dx		6x3dx				9x4dx						0		4							0 5						0

	0			0				0

Базис не ортогональный. Проведем ортогонализацию методом Грама-Шмидта.

1) e1': 1;

1 2x

2xdx

': 2x

1 2x

2x 1;

1 1

1dx

': 3x2

(2x 1)

3x2(2x 1)dx

3x2 dx

1/2

3x2

(2x 1)

1 3x2

(2x 1) 1

1/3

(2x 1)2 dx

1dx

3x2

1 3x2 3x 0,5.

Ортонормируем полученные векторы:

e1o :

e1'

1dx 1

e1' 1;

		'		2	1	(2x 1)2 dx	1	1	(2x 1)2 d(2x 1)		(2x 1)3			1				1	,
					1			1						1
	e
	e
2						2				6					3
					0			0						0		e2'
					0			0						0
												e	o :								e	' 2		x
																				3			3		3;
																				3			3		3;
										2						e	'			2
															2
					1				1
	e3'		2			3x2 3x 0,5 2 dx 9x4				18x3 12x2			3x 0,25 d x
										18x3 12x2

					0				0

9x5		18x4	12x3	3x2		1		1


					0,25x		1,8 4,5 4 1,5 0,25 0,05
	5	4	3	2				20
						0

e3o e3' 25 3x2 3x 0,5 . e3'

Сделаем выборочную проверку:

1				(2x 1)2	1
					1		3		3

e1o	e2o	3(2x 1)dx	3							0;
e1o	e2o	3(2x 1)dx	3							0;
0			4		0	4		4
0					0

1										3x	2		x		1
1															1
	e1o	e3o 2	5 3x2	3x 0,5 dx 2
								5 x3								0.
								5 x3								0.
0									2			2			0
0															0
Итак, ортонормированный базис:

			1,		3(2x 1),2	5	3x2 3x 0,5					.		¶
			1,		3(2x 1),2	5	3x2 3x 0,5					.		¶

Упражнения и задачи

9.1. Доказать, что	функция	P(x) Q(x) P(x)Q(x)dx	является скалярным
		0
произведением	на	множестве многочленов	с действительными
коэффициентами.

9.2.Доказать неравенство Коши-Буняковского: x y x x y y .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2022525.57 Кб2644_Galkina_M.JU._Vychislitel'naja_matematika_.pdf
#
12.11.20221.76 Mб4645_Galkina_M.JU._Metody_optimal'nykh_reshenij_.pdf
#
12.11.20222.2 Mб15647_Pinegina_T.JU._Praktikum_po_kursu_fiziki_.pdf
#
12.11.2022736.72 Кб3651_Zelentsov_B.P._Matrichnye_modeli_funktsionirovanija_.pdf
#
12.11.20229.18 Mб5652_Maglitskij_B.N._Printsipy_postroenija_sputnikovogo_televidenija_.pdf
#
12.11.2022811.62 Кб3656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_.pdf
#
12.11.20225.99 Mб6657_Smolovik_G.N._Teorija_menedzhmenta_.pdf
#
12.11.20221.69 Mб15658_Markasov_M.JU._Teorija_i_praktika_massovoj_informatsii_.pdf
#
12.11.20226.23 Mб32662_Nosov_V.I._Obespechenie_ehlektromagnitnoj_sovmestimosti_.pdf
#
12.11.20222.22 Mб6664_Mikidenko_N.L._EHtnicheskaja_sotsiologija_.pdf
#
12.11.2022873.59 Кб11665_Sabirov_V.SH._Filosofija_nauki_2_.pdf