5585
.pdfII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
Дифференциальное уравнение (ДУ) 1-го порядка – это зависимость между переменной, функцией и её производной F y, y , x 0 , где неизвестное – функция y x . Методы решения зависят от типа уравнения – уравнения с разделяющимися переменными, однородного или линейного.
Под решением ДУ может подразумеваться как функция y x , так и процесс её поиска. О чём именно речь, обычно можно понять из контекста. Так, в названии § 10 имеется в виду функция.
§ 10. Частное решение дифференциального уравнения
Чтобы проверить, будет ли функция y x решением дифференциального уравнения F y, y , x 0 , достаточно найти производную y xи подставить её в это уравнение.
Если получится тождество (равенство, выполненное для всех допустимых значений x), то ответ положителен (функция y x– решение ДУ), если же получается некое уравнение относительно x или вовсе невозможное равенство (типа 2 3 ), ответ отрицателен – функция не является решением.
|
Пример 1. Проверим, будет ли |
функция |
y x |
x5 |
решением |
уравнения |
||||
y x |
5y . Берём производную: y x |
x5 |
5x4 , и в предложенное |
уравнение |
||||||
подставляем выражение x5 вместо буквы y и выражение 5x4 |
вместо значка y : |
|||||||||
|
|
5x4 |
x 5x5 ? |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение выполнено как тождество – действительно, 5x5 |
5x5 |
при любом x. |
||||||||
|
Ответ: да, y x |
x5 – решение уравнения y x |
5y . |
|
|
|
|
|
||
|
Пример 2. Проверим, будет ли функция |
y x |
e 5 x |
решением |
уравнения |
|||||
y |
5y . Берём производную: y x |
e 5 x |
5e 5 x и подставляем в уравнение |
|||||||
функцию e 5x вместо y и её производную |
5e 5x |
вместо y : |
|
|
|
|
||||
|
|
5e 5x |
5e 5x ? |
|
|
|
|
|
|
|
Сократив на e 5x |
0 , приходим к бессмысленному равенству |
5 |
5 . |
|
||||||
|
Ответ: нет, y x |
e 5 x – не решение уравнения y |
5y . |
|
|
|
|
62
Легко проверить, что на самом деле |
y |
e 5 x – решение уравнения |
y |
|
5y , а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
решением уравнения y |
|
|
|
5y будет, например, функция y |
e5 x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3. |
Проверим, какие из функций |
y |
|
cos6x , |
y |
2 |
x3 |
, y |
3 |
ex2 |
будут |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
решением уравнения y |
|
|
|
2xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Найдём производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
cos6x |
|
|
|
|
|
6 sin 6x , |
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
x3 |
|
|
3x 2 |
, |
|
|
y |
3 |
|
ex2 |
|
2xex2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и подставим по очереди в уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6sin6x |
2x cos6x – уравнение относительно x, но не тождество; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3x2 |
2x |
|
|
|
x3 |
возможно лишь при x |
|
|
0 и при x |
|
|
3 |
|
|
, что нас не устраивает; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2xex2 |
|
|
2x |
e x2 – тождество. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Ответ: из предложенных функций – только y |
3 |
ex2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пример 4. Проверим, решением каких уравнений будет функция y |
|
x : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y y 1; |
|
|
|
|
|
б) 4 y 2 |
y 2 ; |
|
в) 2xy |
|
y . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Находим y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
и подставляем в каждое уравнение: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ? Нет, |
1 |
|
|
|
|
1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ? Упростим: |
|
|
|
. Да, это тождество выполнено при лю- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
бом x |
0 . Но производная |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
также учитывает, что x |
|
0 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
x ? Да, |
|
|
|
x |
|
|
x при x |
0 , что функция и предполагает. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: y x – решение 2-го и 3-го уравнения одновременно.
Заметим, что речь в примерах идёт только о частном решении. Общее решение всегда содержит постоянную C, а при подстановке в уравнение должно превращать его в тождество при любом значении C (обычно C исчезает). Смысл постоянной C раскрывается в § 11.
63
ЧР1. Убедитесь, что функция y x– решение дифференциального уравнения:
1) а) y 3x2 , y |
|
2 y |
; |
б) y 6x, y 2 |
|
|
|
6 y |
; |
в) y x2 3x, y |
|
|
y |
x ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
2) а) y e6 x , y 6 y ; |
|
б) y e x , y |
y 0 ; |
в) y e3x , y e3x |
|
3y 2 ; |
|||||||||||||||||||||||
3) а) y |
sin x, y tg x |
y ; |
б) y |
sin2 x, y |
|
sin 2x ; |
в) y |
cos x, y |
2 |
|
y2 |
1; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
4) y |
x, 2 yy 1 ; |
|
б) y |
3 x , 3y |
|
; |
в) y |
|
x , y 2 |
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 y2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ЧР2. Проверьте, будет ли y x решением дифференциального уравнения: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) а) y x3 , y |
; |
|
б) y x2 , y 2 y ; |
в) y x2 , y |
yx ; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) а) y e x , y |
y 2 ; |
|
б) y e2 x , y 2 y ; |
в) y xex , y |
y ex ; |
|
|||||||||||||||||||||||
3) а) y |
tg x, y |
|
y 2 |
1; |
б) y |
cos2 x, y |
|
|
|
|
2 y tg x ; |
в) y |
x sin x, y |
|
y sin x . |
ЧР3. Будет ли функция y xрешением указанного уравнения?
1) y x 2x4 ;
|
а) y |
|
y |
; |
б) y 4 |
y |
; |
|
|
в) y 2 |
y2 |
; |
|
г) y 2 |
32yx2 ; |
|||||
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
||||
2) |
y x |
e2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
б) y e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y e x ; |
||||||
|
а) y 2 y ; |
2 y ; |
в) y 2y 0 ; |
г) y |
||||||||||||||||
3) |
y x |
cos3x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) y 2 |
|
|||||||||
|
а) y 3y ; |
б) y 3y tg x 0 ; |
в) |
|
y |
|
3 1 y 2 ; |
y2 1. |
||||||||||||
|
|
|
ЧР4. Будет ли функция y решением предложенного уравнения?
1) y 2 y ;
|
а) y e2 x ; |
б) y e 2 x ; |
|
в) y 0 ; |
|
|
г) y 4e2 x ; |
д) y x2 ; |
||||||||||||||||||
2) |
y |
y 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) y |
|
1 |
|
; |
б) y |
|
1 |
; |
в) y |
2 |
; |
г) y |
1 |
; |
|
д) y |
1 |
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
3 |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
||||||
3) |
y |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а) y |
1000; |
б) y |
x ; |
|
в) y |
2x 3 ; |
г) y |
|
2x 3 ; |
д) y |
|
|
3 2x . |
64
§ 11. Уравнения с разделяющимися переменными
Простейшие дифференциальные уравнения. Уравнение yf x простым
интегрированием y |
|
f |
x dx приводит к общему решению y F x |
|
|
|
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Если дополнительно указано, что y x0 |
|
|
|
|
|
y0 , находим C0 |
|
y0 |
|
|
|
F x0 и в отве- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
те указываем частное решение y |
F x |
|
|
C0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ДУ1. Найдите частное решение простейших ДУ с начальным условием |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
а) y 2x 1, y 0 3; |
|
б) y 4x 3, y 0 2 ; |
|
в) y 6x2 |
|
|
3, y 1 2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) y 2 6x3 , y 1 3 ; |
|
д) y |
|
x2 |
x3 , y 0 1 ; |
|
е) y |
|
x2 |
2x4 , y 0 |
0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
а) y |
1 |
|
|
, y 1 3 ; |
|
б) y |
1 |
|
, y 1 0 ; |
|
в) y |
2 |
|
|
|
|
, y 0 |
1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 |
|
|
4x 3 |
|
|
6 5x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) |
y |
1 |
|
|
|
|
, y 0 |
0 ; |
|
д) |
y |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
, y 0 |
0 ; |
е) |
y |
1 |
|
|
, |
|
|
y 1 |
2 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x |
3 |
|
2 |
|
0,5x |
2 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
а) y |
1 |
|
|
|
|
|
, y 0 5 ; |
|
б) y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
в) y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, y 3 0 |
|
|
|
, y 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
4 |
|
|
x2 |
9 |
|
x2 |
4 |
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, y 2 0 |
; |
д) y |
1 |
|
|
, y 0 0 |
; |
е) y |
1 |
|
|
|
, y 0 1 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x2 |
|
|
8 |
|
3x2 |
9 |
|
x2 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
а) y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, y 1 0 ; |
б) y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, y 0 |
1 |
; |
в) y |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, y 1 |
2 ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
4 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, y 1 0 ; б) y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, y |
|
1 |
|
0 |
; е) y |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, y 0 |
0 ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 4x2 |
|
|
|
|
|
|
1 4x2 |
|
|
|
|
|
|
5 x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
а) |
y |
cos x, |
|
|
y 0 |
1 ; |
|
б) |
y |
sin x, y |
|
|
|
|
|
0 ; |
|
в) |
y |
cos5x, y |
|
|
1 ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) |
y |
6 cos3x, y |
|
|
0 ; |
д) |
y |
4 sin 2x, y 0 |
|
|
|
1; |
|
е) |
y |
|
cos |
x |
, y 0 |
2 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
а) y 2e x , y 0 |
4 ; |
|
б) y |
|
e 2 x , y 0 |
0 ; |
|
|
в) y 2e 2 x , y ln 2 |
|
1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
г) y 6e3x , y 0 |
2 ; |
|
д) y |
|
4e x / 2 , y 0 |
|
|
|
1; |
|
е) y |
|
e4 x |
|
|
e 2 x , y 0 1 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
а) y |
1 |
|
|
|
|
|
|
, y 1 0 ; |
|
б) y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, y 2 4 |
; |
в) y |
1 |
|
|
|
|
|
, y 2 3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 3 |
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
3 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, y 2 |
0 ; д) y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, y 0 1 |
; |
е) y |
1 |
|
|
|
|
|
|
, y 6 |
0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
|
2 |
|
2x |
1 |
2 |
|
5 |
x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65
Пример 1. Чтобы решить задачу y |
|
|
|
|
|
|
6x2 |
4x |
7, |
|
y 0 |
|
|
1, интегрируем: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
6x2 |
4x 7 dx 6 |
x3 |
|
|
|
4 |
x2 |
|
7x C 2x3 |
2x2 |
7x C , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а затем в полученное общее решение подставляем x |
|
|
|
|
0 и y |
|
|
1: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 03 |
|
|
2 02 |
|
7 0 C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
откуда C |
|
|
|
1. Получаем частное решение y x |
|
2x3 |
|
|
|
|
2x2 |
7x |
1 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Проверим выполнение условий задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
y x |
2x3 |
2x2 |
|
|
|
|
|
|
7x |
1 |
|
|
|
|
6x2 4x 7 – что и должно быть; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
y 0 |
2 03 |
2 02 |
|
|
|
|
7 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 – начальное условие выполнено. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2. Пусть y |
|
|
2cos3x, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 . Интегрируем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 cos3xdx |
2 |
|
|
1 |
|
sin 3x |
|
|
C |
|
|
2 |
|
sin 3x |
|
C , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
подставляем x |
|
|
|
|
|
|
и |
y |
4 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
sin 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
4 |
|
|
|
|
2 |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Но sin |
|
|
|
1 |
, поэтому |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
C |
|
4 , откуда C |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
11 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Итак, частное решение: |
|
y x |
|
|
|
|
2 |
sin 3x |
|
|
|
11 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Проверим выполнение условий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
y x |
|
2 |
sin 3x |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3cos3x |
|
2 cos3x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) |
y |
|
|
|
|
|
2 |
sin 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
2 |
sin |
|
|
|
|
11 |
2 |
|
1 |
|
|
|
11 |
|
|
|
1 |
|
11 |
12 |
|
4 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
18 |
3 |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция отвечает и уравнению, и начальному условию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3. Если y |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , то общее решение: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
dx |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
3arcsin |
x |
|
|
C , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
а частное решение получим, подставляя в общее x |
|
|
|
|
3 и y |
0 : |
|
|
|
66
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
C . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3arcsin |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная, что arcsin |
3 |
|
|
, получаем уравнение 3 |
|
C 0 , или |
C 0 , тем |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
2 3 |
3 |
|||||||||||||||
самым C |
. Частное решение: |
y x 3arcsin |
x |
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными – это урав-
нение вида f |
|
x dx |
g y dy . Для его решения интегрируем обе части равенства: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x dx |
g y dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и получаем общий интеграл F x |
G y |
|
|
C , где F x |
|
f |
x |
|
и G |
|
x |
g x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если затем выразить y через x, то найдём общее решение y |
|
|
|
y x, C . Иногда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проще выразить x через y, тогда x |
x y, C |
– также общее решение. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Когда дано начальное условие |
y x0 |
|
|
y0 (поставлена Задача Коши), можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
найти постоянную C из равенства F x0 |
|
|
G y0 |
C , |
т.е. найти C0 |
F x0 |
G y0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и тем самым – частное решение (частный интеграл) F x |
|
G y |
|
|
|
C0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ДУ2. Найдите общий интеграл и частный интеграл для начального условия: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) 2x 1 dx 4 y 5 dy, y 1 |
1; |
|
|
|
|
б) 3x 7 dx 6 5y dy, y 0 2 ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) sin xdx |
|
cos ydy, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
г) sin 2xdx |
|
|
cos |
y |
dy, y |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||
Пример 4. Решим уравнение sin2xdx |
cos3ydy с условием y |
|
|
|
|
0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Переменные разделены, и остаётся проинтегрировать: |
|
|
sin 2xdx |
cos3ydy , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получив тем самым общий интеграл |
1 |
cos2x |
1 |
sin3y |
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По условию, если x |
|
|
, то y |
0 . Подставим: |
1 |
cos 2 |
|
|
|
|
|
1 |
sin 3 0 |
C , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
откуда |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
C , т.е. 0 |
0 |
C , и тогда C |
0 . Частный интеграл имеет вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
cos2x |
|
1 |
sin 3y , или, что то же самое, |
sin 3y |
|
|
|
3 |
cos2x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Выразив y |
1 |
|
|
|
1 k 1 arcsin |
|
3 |
cos2x |
|
|
|
k, k Z , получим частное решение. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными – это
уравнение вида y f x g y или уравнение, |
приводимое к такому по правилам |
арифметики, например, f x dy g y dx или f |
x y g y . |
Идея решения таких уравнений – по свойствам пропорций получить равно-
сильное уравнение с разделёнными переменными f1 |
x dx g1 y dy , где f1 , g1 – |
новые функции, и проинтегрировать каждую часть. |
|
В результате получится общий интеграл F x G y |
C и все замечания от- |
носительно уравнений с разделёнными переменными остаются в силе. |
ДУ3. Для уравнений с разделяющимися переменными найдите частное решение (в виде неявно заданной функции) при указанном начальном условии:
1) а) y |
3x 2 |
|
, y 2 0 ; |
|
б) |
y |
|
6x 5 |
, y 1 2 ; |
в) |
|
y |
7x 3 |
, y 0 0 ; |
||||||||||||||||||||||||
5y |
7 |
|
|
4 y |
2 |
9 y |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г) y |
3x2 |
1 |
, y 2 |
1 |
; |
д) |
y |
|
x3 |
|
2x |
|
, y 0 |
1; |
е) |
|
y |
3x4 |
|
|
, y 1 1 ; |
|||||||||||||||||
y3 |
7 y |
|
|
y 4 |
|
|
|
y 2 y 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) а) y |
2 y 1 |
|
, y 0 0 ; |
|
б) |
y |
|
4 y 3 |
, y 2 1; в) |
|
y |
8y 5 |
, y 2 |
|
3 |
; |
||||||||||||||||||||||
3x |
1 |
|
|
|
2x |
5 |
2x |
3 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) y |
|
2 y |
, y 1 1; |
|
|
д) |
y |
|
4 3y |
, y |
1 |
|
1; |
е) |
|
y |
|
8 y |
|
|
, y 4 7 . |
|||||||||||||||||
|
3x |
|
|
|
|
2 |
|
5x |
5 |
|
|
0,5x |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 5. Решим уравнение y |
|
3 |
|
2x |
|
с начальным условием y 2 |
0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Запишем уравнение как |
|
dy |
3 |
|
2x |
. |
Перегруппируем, чтобы переменная y |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
5y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
оказалась там же, |
где дифференциал dy , |
а переменная x – там, |
где dx . Тем са- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
мым 5y |
1 dy |
|
|
|
|
3 |
2x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интегрируем: |
5y |
1 dy |
|
|
3 |
|
2x dx , откуда |
5y |
1 2 |
|
|
3 |
2x 2 |
|
|
C |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
5 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(делим на новую степень и на коэффициент перед переменной). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Упростим: |
|
|
5y |
1 2 |
|
2,5 2x |
3 |
2 |
|
C , |
где C |
10C . Получен общий интеграл |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Условие y 2 |
|
|
|
0 позволяет найти константу C1 . Подставим x |
2 и y |
0 : |
||||||||||||||||||||||||||||||||
5 0 1 2 |
|
|
|
2,5 2 |
2 |
3 2 |
C , откуда 1 |
2,5 1 |
C |
и потому C 3,5 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Частное решение (в неявном виде) |
|
5y |
1 2 |
|
|
2,5 2x |
3 2 |
3,5. |
|
|
|
|
|
|
|
68
Можно найти интегралы и так: 2,5y 2 y |
3x x2 C , тогда при x |
2 и y |
0 |
|||
получили бы C |
2 и соответственно 2,5y 2 |
y 3x x2 |
2 . |
|
|
|
Легко убедиться, раскрывая скобки, что равенства |
5y 1 2 |
2,5 2x |
3 2 |
3,5 |
||
и 2,5 y 2 y 3x x2 |
2 равносильны. |
|
|
|
|
|
ДУ4. Найдите общий интеграл и по возможности – общее решение уравнения
1) а) y |
|
|
2x 3 |
; |
|
|
|
|
|
б) y |
|
|
5x 2 |
; |
|
|
|
|
в) y |
|
8x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y |
3x2 |
6 |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 y 6 |
|
|
|
|
|
|
|
3y 8 |
|
|
|
|
|
6 y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 y3 |
8 y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2) а) y |
|
|
5y 2 |
|
; |
|
|
|
|
б) y |
|
|
4 y 6 |
; |
|
|
|
|
в) y |
|
|
|
8 y |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y |
|
9 2 y |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x |
7 |
|
|
3 |
|
|
7x |
4 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
4 0,5x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 y2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 y2 |
16 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) а) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
в) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
г) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
25 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 2x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) а) |
y |
|
|
cos2 y |
; |
|
|
|
|
|
б) y |
|
|
2 cos2 |
y |
; |
|
|
в) |
y |
|
2 sin2 4 y |
|
; |
|
|
г) |
y |
2 cos2 2 y |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3cos2 5x |
3cos2 4x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5) а) y 2 |
|
|
|
|
y |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
б) y |
|
|
|
|
y 2 |
|
; |
|
|
в) y |
|
|
|
|
3y 4 |
|
; |
|
|
г) |
y |
|
|
3 2 y |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 6. |
|
|
Пусть |
y |
4x |
3 |
. |
|
|
Поскольку |
|
|
y |
|
|
dy |
, |
|
запишем |
равносильное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
уравнение |
|
|
dy |
|
|
|
4x |
3 |
. Домножим на dx , тогда |
dy |
|
4x |
|
3 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
2 y |
8 |
|
2 y |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Скобка |
|
|
|
|
2 y |
|
|
8 |
должна быть там же, где dy , |
поэтому |
2 y |
|
8 dy |
4x |
|
|
3 dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Переменные разделены. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Интегрируем: |
2 y |
8 dy |
|
|
|
|
|
4x 3 dx , получаем общий интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
8 y 2x2 |
3x C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пример 7. Пусть y |
|
2 y |
7 |
|
, или, что то же, |
|
dy |
|
|
|
2 y |
7 |
|
. Умножим на dx : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x |
5 |
|
dx |
|
|
|
3x |
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
dy |
2 y |
7 |
dx . Не на своём месте числитель 2y |
|
7 – он должен быть рядом с dy . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
, и переменные разделены. |
Интегрируем: |
|
dy |
|
|
|
|
|
dx |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 y |
7 |
|
|
|
3x |
5 |
|
2 y |
7 |
|
|
3x |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем общий интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
ln |
|
3x 5 |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
2 y 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
Пример 8. Решим уравнение |
y |
y2 |
6 |
|
, или |
|
dy |
|
y 2 |
6 |
|
. Разделяем пере- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
x2 |
|
|
3 |
|
x2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
менные: |
dy |
|
|
dx |
|
|
. Интегрируем: |
1 |
|
arctg |
y |
|
|
arcsin |
x |
|
C . |
||||||||||||
y 2 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
x2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
ДУ5. Найдите общее решение дифференциального уравнения, а также частное решение для указанного начального условия (решите Задачу Коши):
1) а) y |
x |
|
, y 0 |
|
3 ; |
|
|
|
б) |
y |
2x |
|
, y 0 |
|
1 ; |
|
|
в) y |
|
|
x |
|
, y 1 2 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
г) y |
|
|
3x |
|
, y 2 |
|
1; |
|
|
д) |
y |
|
|
x |
, y 0 3 ; |
|
|
е) y |
|
|
x |
|
, y 4 |
1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
||||||||||
2) а) y |
|
y |
|
, y 1 2 ; |
|
|
|
б) |
y |
|
|
y |
|
|
, y 1 3 ; |
|
|
в) y |
|
3y |
, y 2 8 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
г) y |
|
4 y |
, y 2 1; |
д) |
y |
3y |
, y 4 |
|
0 ; |
|
|
|
е) y |
|
|
y |
|
, y 9 1 ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
||||||||||
3) а) y 1 dx x 4 dy, y 5 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 2 y 1 dx 3x 4 dy, y |
5 |
|
0 ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
в) 3 y dx 2x 1 dy, y 1 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) 3 2 y dx 4 5x dy, y |
3 |
1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9. Решим уравнение y |
|
|
|
|
5x |
|
в общем виде и при условии y 0 |
3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Записываем уравнение как |
dy |
|
|
|
5 |
|
x |
|
|
и переносим переменные: ydy |
5xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Общий интеграл имеет вид |
|
y2 |
5 |
x2 |
|
|
|
|
|
C . Выразив y, получим общее решение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
2C |
5x2 , или просто y |
|
|
C |
|
|
5x 2 , где буквой C переобозначено 2C. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 02 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
По условию, |
y |
3 при x |
|
0 . Подставим: |
3 |
|
|
C |
|
, откуда |
C 3 и со- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ответственно C |
9 . Частное решение: |
y |
9 |
5x2 |
(без знака |
). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 10. Решим уравнение y |
|
|
|
|
|
|
|
5y |
|
в общем виде и при условии y 2 |
4 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
После |
записи |
dy |
5 |
y |
|
|
и |
переноса |
|
переменных |
приходим |
к |
уравнению |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dy |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
, общий интеграл которого имеет вид ln |
y |
|
5 ln |
x |
|
C . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
5 |
|
ln |
1 |
, а вместо C запишем lnC . |
|||||||||||||||
Чтобы выразить y, учтём, что 5 ln |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Тогда ln |
y |
|
|
|
ln |
|
|
|
ln C , или ln |
y |
|
ln |
|
|
. Логарифм – монотонная функция, |
||||||||||||||||||||||||||
C |
|
|
x |
|
5 |
|
|
|
|
|
x |
|
5 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
поэтому |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Опуская модули, |
получаем, что y |
|
|
|
|
|
, а в силу произвольного характера |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
постоянной – просто y |
|
|
C |
. Это – общее решение. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Учтём, что при x |
|
2 должно быть y |
|
|
4 . Подставим: 4 |
C |
, откуда C 128. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
25 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение: |
|
y |
|
|
128 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. При появлении логарифма модуль обычно не пишут, поскольку произвольность знака переменных учтена в постоянной C, связывающей их. При любых действиях с постоянной её удобно заново обозначать той же буквой C.
ДУ6. Найдите общий интеграл, общее решение (*) и частное решение ДУ:
а) y cos2 |
x |
y |
|
1 , |
y 0 |
0 ; |
б) |
y cos2 3x |
2 y |
5 , y 0 |
2 ; |
||||||||
2 |
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
в) y cos |
|
|
y |
|
1, |
y 0 |
0 ; |
г) |
y sin |
|
4x |
y |
|
|
9, y |
|
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
||
д) y x2 |
|
|
y 2 , y 0 1 ; |
|
е) y x2 |
|
|
|
|
|
|
1; |
|||||||
1 |
|
|
|
9 |
|
|
4 y 5, y 0 |
||||||||||||
ж) y x 1 4 |
y3 , y 0 1; |
|
з) y 2x 5 3 |
|
y4 , y 3 2 . |
|
Примечание: (*) – задание повышенной сложности.
В § 12 показано, как решать важнейшие уравнения 1-го порядка с неразделёнными переменными – линейные, однородные, а также уравнения Бернулли. Все они сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными при помощи некоторой замены или предварительного упрощения.
Этим работа с дифференциальными уравнениями напоминает интегрирование, когда сложный интеграл сводят к табличному или при помощи замены, или интегрируя вначале часть основной функции.
71