МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГОУ ВПО
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ К.Д. ГЛИНКИ
КАФЕДРА МЕХАНИКИ
ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО МЕХАНИКЕ
(РАЗДЕЛ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»)
для студентов 2 курса агроинженерного факультета по специальностям 311300 «Механизация сельского хозяйства», 311500 «Механизация переработки сельскохозяйственной продукции», 311900 «Технология обслуживания и ремонта машин в АПК»
ВОРОНЕЖ
2004
Методические указания разработаны доцентами А. Н. Беляевым и С.В. Василенко, ассистентами И. М. Филимоновой и О.В. Зеленской.
Рецензент – профессор, зав. кафедрой высшей математики и теоретической механики Воронежского госагроуниверситета В. П. Шацкий.
Одобрено и рекомендовано к изданию кафедрой механики (протокол №2 от 19.10.2004г.) и методической комиссией агроинженерного факультета Воронежского государственного аграрного университета им. К. Д. Глинки (протокол № 2 от 28.10.2004 г).
Методические указания содержат краткие теоретические сведения, пример расчётов валов на изгиб с кручением, задания для расчётно-графических работ и предназначено для использования при решении задач по данному разделу курса сопротивления материалов студентами агроинженерного факультета.
УДК 539. 3/6
Беляев А. Н., Василенко С. В., Филимонова И. М., Зеленская О.В.
Изгиб с кручением: Методические указания по курсу “ Сопротивление материалов”. – Воронеж: ВГАУ, 2004.
Введение
При инженерном расчёте различных конструкций и механизмов, решив задачи механики, приступают к выбору материала. Зная условия работы той или иной детали, важно рационально подобрать материал, из которого она будет изготовлена, назначить оптимальные размеры сечения. Выбранное сечение должно удовлетворять условие прочности, а в некоторых случаях и условие жёсткости. Таким образом, приступая к расчётам, необходимо выяснить характер деформаций в детале или элементе конструкции.
В состав основных типов деформаций входят деформации изгиба и кручения. Эти типы деформаций относятся к так называемым простым типам деформаций. В конструкциях встречается и более сложная работа элементов, когда они испытывают два и более типов деформаций одновременно, например, изгиб с кручением. В этом случае имеем дело с так называемой сложной деформацией. В данном методическом указании содержится достаточный теоретический комментарий к осознанному подходу в решении задачи на изгиб с кручением, также оно содержит пример решения такой задачи и набор вариантов для самостоятельной работы студентов.
Подобные расчётные модели возникают при расчёте валов. Сечения вала передают крутящий момент, а следовательно будет иметь место угловая деформация. Кроме крутящего момента вал воспринимает радиальные силы и следовательно в нём будет деформация изгиба и в меньшей степени деформация сдвига.
Методические указания предусматривают предварительное изучение соответствующих разделов курса сопротивления материалов.
Предназначены для студентов агроинженерного факультета.
Основные теоретические положения
При одновременной деформации изгиба с кручением внутренние усилия в поперечном сечении стержня сводятся к пяти составляющим: крутящему моменту Mz=Т относительно оси стержня Z, изгибающим моментам My и Mx относительно главных центральных осей инерции сечения Y и X и поперечным силам Qy и Qx, направленным по этим осям (рис1.1).
Если стержень имеет круглое поперечное сечение с диаметром d, то касательные напряжения, определяющие Qy и Qx , не учитывают ввиду их малости.
Эпюры напряжений τ и σ в поперечном сечении вала показаны на рис.1.2. Касательные напряжения τQ, возникающие при поперечном изгибе показаны только направлением.
Касательные напряжения τ, определяющие крутящий момент Т, наибольшие во всех точках контура сечения, а нормальные напряжения σ, определяющие результирующий изгибающий момент M, наибольшие в точках А и В контура сечения. Точки А и В лежат на концах диаметра, перпенди-кулярного вектору результирующего изгибающего момента
.
В случае равного разложения М на Мx и Мy существуют ещё точки С и D рис. 1.2, где к касательным напряжениям от кручения добавляются (с учётом знака) τQ – касательные напряжения от изгиба, однако эти напряжения невелики и поэтому опаснее напряжённое состояние материала будет в точках А и В.
Рис.
1.2
Эпюры напряжений
τ и σ в поперечном сечении вала
Если выделить у этих точек (например, у точки А) элементы материала кубической формы, то по четырём граням этого элемента будут действовать касательные напряжения τ, на двух других из этих четырёх граней будут действовать ещё и нормальные напряжения σ.
Две грани кубика будут свободны от напряжений (рис. 1.3 а). Выделенный элемент будет испытывать плоское напряжённое состояние.
Для проверки прочности материала необходимо найти главные напряжения σ1 и σ3. При плоском напряжённом состоянии принимаем (в нашем случае) σ2 = 0 (рис.1.3 б), тогда имеем
.
Так как σy=0, то главные напряжения определяются по формуле
.
Здесь σz – нормальное напряжение при изгибе; τ – касательное напряжение от кручения.
;
;
.
Подставим σ1, σ2, σ3 в соответствующие теории прочности.
Теория наибольших нормальных напряжений:
,
где σadm – допускаемое напряжение при простом растяжении-сжатии.
После преобразований получаем
.
Теория наибольших относительных удлинений:
.
После преобразований получаем
(здесь принят ν=0,3 – коэффициент Пуассона).
Теория наибольших касательных напряжений:
.
После преобразований:
.
Теория потенциальной энергии формоизменения:
.
После преобразований:
.
Напряжения σz и τ , как наибольшие напряжения от изгиба и от кручения, равны:
,
где для вала круглого поперечного сечения – момент сопротивления сечения изгибу относительно главных осей x и y;
,
где – полярный момент сопротивления сечения кручению относительно центра О.
Подставляя эти значения напряжений в формулу для первой теории прочности, получаем
,
где Мred – расчётный или эквивалентный изгибающий момент, величина которого зависит как от М и T, так и от принятой теории прочности. Он равен по теории наибольших нормальных напряжений – I теория прочности:
.
По теории наибольших удлинений – II теория прочности:
.
По теории наибольших касательных напряжений – III теория прочности:
.
По теории потенциальной энергии формоизменения – IV теория прочности:
.
Проверка вала на совместное действие кручения и изгиба может быть как проверка на один изгиб с изгибающим моментом Мred.
;
;
;
.
В случае если вал помимо скручивания и изгиба, растягивается или сжимается продольными силами N, то влияние этих сил может быть учтено при определении σz
,
где – площадь поперечного сечения вала;
σz(из) – нормальное напряжение при изгибе.
Из условия прочности получаем необходимый момент сопротивления сечения
,
отсюда диаметр вала должен быть
.
Так как валы обычно изготавливают из малоуглеродистой стали и вообще из пластичных материалов, то при подсчёте эквивалентного изгибающего момента рекомендуется пользоваться третьей или четвёртой теориями прочности.
Полученное значение диаметра округляется до ближайшего, равного (согласно ГОСТ): 30,35,40,45,50,60,70,80,90,100мм.
Пример.
Стальной вал круглого сечения с допускаемым напряжением
σadm=70 МПа закреплён в шарнирно - неподвижной и шарнирно - подвижной опорах. На валу жёстко установлены три шкива так, что делят вал на участки а=1,2 м, b=1,8 м, с=1,7 м . Шкив с диаметром D1=1,3 м и углом наклона ветвей ремня к горизонту 1=60º вращается с частотой n=700 оборотов в минуту и передаёт мощность P=70 кВт. Два других шкива имеют одинаковые диаметры D2=1,4 м и одинаковые углы наклона ветвей к горизонту 2=30º. Каждый из них передаёт мощность P/2 (см. рис. 1.4, рис. 1.5 а). Собственный вес вала и шкивов не учитывается.
Д ано:
P=70 кВт
n=700 мин -1
α1=60º; α2=30º
D1=1,3 м; D2=1,4 м
a=1,2 м; b=1,8 м; c=1,7 м
σadm=70 МПа Рис. 1.4
Требуется:
1. При помощи эпюр Т и М найти опасное сечение и определить максимальный расчётный момент (по третьей теории прочности).
2. Подобрать диаметр вала d при adm=70МПа и округлить его значение до ближайшего стандартного.
Решение:
1. Определяем опасное сечение и максимальный расчетный момент
1.1. Определяем крутящие моменты, приложенные к шкивам, по заданной мощности и числу оборотов
,
где – угловая скорость вращения вала:
c-1.
Н∙м; Н∙м.
1.2. Разбиваем вал на участки (рис. 1.5 б) и определяем крутящие моменты в сечении вала. Строим эпюру крутящих моментов (рис. 1.5 в)
H∙м;
Н∙м;
Н∙м;
.
1.3. Определяем силы натяжения ремней t1 и t2, действующие на шкивы, по найденным моментам и заданным диаметрам шкивов D1 и D2
Н;
Н.
1.4. Определяем давление на вал от сил в ремнях, принимая их равными .
Давление на вал от сил на шкиве D1
Н.
Давление на вал от сил на шкивах D2
Н.
1.5. Определяем силы, изгибающие вал в вертикальной и горизонтальной плоскостях
Н;
Н;
Н;
Н.
1.6. В соответствии с полученными знаками расставляем силы на расчётных схемах (рис. 1.5 г,е). Строим эпюры изгибающих моментов от вертикальных и горизонтальных сил
1.6.1. Для построения эпюры изгибающих моментов от вертикальных сил определим реакции опор RA и RB (рис. 1.5 г)
;
Н.
; Н.
Проверка:
; .
Вертикальные реакции определены верно.
1.6.2. Разбиваем вал на участки и определяем значения изгибающих моментов от вертикальных сил на каждом его участке (рис. 1.5 г, д)
1 участок 0≤z1≤1,2 м:
;
– ;
м – Н∙м.
2 участок 0≤z2≤1,8 м:
;
– м;
м – м.
3 участок 0≤z3≤1,8 м:
;
– ;
м – м.
4 участок 0≤z4≤1,7 м:
;
– Н∙м;
м – Н∙м.
1.6.3. Для построения эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил определим реакции опор RA и RB (рис. 1.5 е)
;
Н.
;
H.
Проверка:
; .
Горизонтальные реакции определены верно.
1.6.4. Определяем значения изгибающих моментов от горизонтальных сил на каждом участке вала (рис. 1.5 ж)
1 участок 0≤z1≤1,2 м:
;
– ;
м – Н∙м.
2 участок 0≤z2≤1,8 м:
;
– Н∙м;
м – Н∙м;
3 участок 0≤z3≤1,8 м:
;
– ;
м – Н∙м.
4 участок 0≤z4≤1,7 м:
;
– Н∙м;
м – Н∙м.
1.7.Строим эпюру суммарных моментов (рис. 1.5 з)
Момент в сечении А:
Н∙м.
Момент в сечении Д:
Н∙м.
Момент в сечении Е:
Н∙м.
1.8. По эпюре крутящих моментов и по суммарной эпюре изгибающих моментов определяем опасное сечение
Наибольший изгибающий момент находится в сечении Д : Н∙м.
Крутящий момент в сечении Д:
Т=Т2=477,7 Н∙м.
По третьей теории прочности расчётный момент будет равен:
Н∙м.
2. Определяем диаметр вала
Из условия прочности имеем:
МПа, где – момент сопротивления круглого сечения вала.
Тогда МПа Па
м = 92 мм.
Принимаем d = 90 мм. Момент сопротивления сечения при d = 90 мм м3. Расчётное напряжение при диаметре d = 90 мм
Па = 74 МПа.
Полученное напряжение больше допускаемого, значит считаем перегрузку
.
Принимаем d = 100 мм.
Т, Н∙м
, Н∙м
, Н∙м
, Н∙м
Рис. 1.5
Схемы нагружения вала и эпюры внутренних сил
На рис.1.5: а – схема вала; б – схема расположения внешних крутящих моментов; в – эпюра крутящих моментов T в сечении вала; г – схема нагружения вертикальными составляющими; д – эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости; е – схема нагружения горизонтальными составляющими; ж – эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости;
з – суммарная эпюра изгибающих моментов.