- •II. Дифференциальные уравнения и системы
- •§ 10. Частное решение дифференциального уравнения
- •§ 11. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§ 12. Линейные и однородные дифференциальные уравнения
- •§ 13. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •§ 14. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •§ 15. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Другие способы решения систем лдупк
§ 11. Уравнения с разделяющимися переменными
Простейшие дифференциальные уравнения. Уравнение простым интегрированием приводит к общему решению .
Если дополнительно указано, что , находим и в ответе указываем частное решение .
ДУ1. Найдите частное решение простейших ДУ с начальным условием
1) а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
2) а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
3) а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
4) а) ; б) ; в) ;
г) ; б) ; е) ;
5) а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
6) а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
7) а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Пример 1. Чтобы решить задачу , интегрируем:
,
а затем в полученное общее решение подставляем и :
,
откуда . Получаем частное решение .
Проверим выполнение условий задачи:
а) – что и должно быть;
б) – начальное условие выполнено.
Пример 2. Пусть . Интегрируем:
,
подставляем и :
.
Но , поэтому , откуда .
Итак, частное решение: .
Проверим выполнение условий:
а) ;
б) .
Функция отвечает и уравнению, и начальному условию.
Пример 3. Если , то общее решение:
,
а частное решение получим, подставляя в общее и :
.
Зная, что , получаем уравнение , или , тем самым . Частное решение: .
Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными – это уравнение вида . Для его решения интегрируем обе части равенства:
и получаем общий интеграл , где и .
Если затем выразить y через x, то найдём общее решение . Иногда проще выразить x через y, тогда – также общее решение.
Когда дано начальное условие (поставлена Задача Коши), можно найти постоянную C из равенства , т.е. найти , и тем самым – частное решение (частный интеграл) .
ДУ2. Найдите общий интеграл и частный интеграл для начального условия:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Пример 4. Решим уравнение с условием .
Переменные разделены, и остаётся проинтегрировать: ,
получив тем самым общий интеграл .
По условию, если , то . Подставим: ,
откуда , т.е. , и тогда . Частный интеграл имеет вид
, или, что то же самое, .
Выразив , получим частное решение.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида или уравнение, приводимое к такому по правилам арифметики, например, или .
Идея решения таких уравнений – по свойствам пропорций получить равносильное уравнение с разделёнными переменными , где – новые функции, и проинтегрировать каждую часть.
В результате получится общий интеграл и все замечания относительно уравнений с разделёнными переменными остаются в силе.
ДУ3. Для уравнений с разделяющимися переменными найдите частное решение (в виде неявно заданной функции) при указанном начальном условии:
1) а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
2) а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Пример 5. Решим уравнение с начальным условием .
Запишем уравнение как . Перегруппируем, чтобы переменная y оказалась там же, где дифференциал , а переменная x – там, где . Тем самым .
Интегрируем: , откуда
(делим на новую степень и на коэффициент перед переменной).
Упростим: , где . Получен общий интеграл уравнения.
Условие позволяет найти константу . Подставим и :
, откуда и потому .
Частное решение (в неявном виде) .
Можно найти интегралы и так: , тогда при и получили бы и соответственно .
Легко убедиться, раскрывая скобки, что равенства и равносильны.
ДУ4. Найдите общий интеграл и по возможности – общее решение уравнения
1) а) ; б) ; в) г) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) ;
3) а) ; б) ; в) ; г) ;
4) а) ; б) ; в) ; г) ;
5) а) ; б) ; в) ; г) .
Пример 6. Пусть . Поскольку , запишем равносильное уравнение . Домножим на , тогда .
Скобка должна быть там же, где , поэтому . Переменные разделены.
Интегрируем: , получаем общий интеграл
.
Пример 7. Пусть , или, что то же, . Умножим на :
. Не на своём месте числитель – он должен быть рядом с .
Тогда , и переменные разделены. Интегрируем: , получаем общий интеграл
.
Пример 8. Решим уравнение , или . Разделяем переменные: . Интегрируем: .
ДУ5. Найдите общее решение дифференциального уравнения, а также частное решение для указанного начального условия (решите Задачу Коши):
1) а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
2) а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
3) а) ; б) ;
в) ; г) .
Пример 9. Решим уравнение в общем виде и при условии .
Записываем уравнение как и переносим переменные: . Общий интеграл имеет вид . Выразив y, получим общее решение , или просто , где буквой C переобозначено 2C.
По условию, при . Подставим: , откуда и соответственно . Частное решение: (без знака ).
Пример 10. Решим уравнение в общем виде и при условии .
После записи и переноса переменных приходим к уравнению , общий интеграл которого имеет вид .
Чтобы выразить y, учтём, что , а вместо C запишем .
Тогда , или . Логарифм – монотонная функция, поэтому .
Опуская модули, получаем, что , а в силу произвольного характера постоянной – просто . Это – общее решение.
Учтём, что при должно быть . Подставим: , откуда . Частное решение: .
Замечание. При появлении логарифма модуль обычно не пишут, поскольку произвольность знака переменных учтена в постоянной C, связывающей их. При любых действиях с постоянной её удобно заново обозначать той же буквой C.
ДУ6. Найдите общий интеграл, общее решение (*) и частное решение ДУ:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) .
Примечание: (*) – задание повышенной сложности.
В § 12 показано, как решать важнейшие уравнения 1-го порядка с неразделёнными переменными – линейные, однородные, а также уравнения Бернулли. Все они сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными при помощи некоторой замены или предварительного упрощения.
Этим работа с дифференциальными уравнениями напоминает интегрирование, когда сложный интеграл сводят к табличному или при помощи замены, или интегрируя вначале часть основной функции.